पेंडुलम: अवधि र सूत्र को प्रवेग

यांत्रिक प्रणाली भौतिक बिन्दु (शरीर), जो एक weightless inextensible रेशा मा (यसको ठूलो शरीर को वजन तुलनामा नगण्य छ) लटकी एक वर्दी गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रमा हुन्छन् कि, गणितीय पेंडुलम (- को थरथरानवाला अर्को नाम) भनिन्छ। त्यहाँ उपकरणहरू अन्य प्रकार छन्। एक रेशा weightless रड सट्टा प्रयोग गर्न सकिन्छ। पेंडुलम स्पष्ट धेरै रोचक घटना को सार प्रकट गर्न सक्नुहुन्छ। जब यसको गति को सानो आयाम कंपन हर्मोनिक भनिन्छ।

यांत्रिक प्रणाली बारेमा सामान्य जानकारी

को पेंडुलम को oscillation अवधिको सूत्र डच वैज्ञानिक Huygens नस्ल थियो (1629-1695 GG।)। न्यूटन को यो समकालीन यांत्रिक प्रणाली को धेरै रुचाउनु भएको थियो। 1656 मा उहाँले एक पेंडुलम संयन्त्र पहिलो हेर्ने सिर्जना गरियो। तिनीहरूले ती पटक चरम सटीक संग समय मापन। यो आविष्कार शारीरिक प्रयोग र व्यावहारिक गतिविधिहरु को विकास मा एक प्रमुख चरण थियो।

को पेंडुलम एक संतुलन स्थिति (ठाडो झुन्डिएको) मा छ भने, गुरुत्वाकर्षण को शक्ति को यार्न तनाव शक्ति द्वारा सन्तुलित गरिनेछ। एक गैर-stretchable yarns मा फ्लैट पेंडुलम संचार को स्वतन्त्रता को दुई डिग्री संग एक प्रणाली छ। यसको सबै भागहरु को विशेषताहरु परिवर्तन सिर्फ एक घटक परिवर्तन गर्दा। उदाहरणका लागि, यदि एक मुद्दा एक छडी बदलिएको छ, त्यसपछि यो यांत्रिक प्रणाली स्वतन्त्रता मात्र 1 डिग्री छ। के, त्यसपछि एक गणितीय पेंडुलम को गुण? यो सरल प्रणाली, एक आवधिक perturbation को प्रभाव अन्तर्गत अराजकता देखिन्छ। निलम्बन बिन्दु छैन सार्दा गर्दा, र एक पेंडुलम oscillates कि मामला, त्यहाँ नयाँ संतुलन स्थिति छ। यदि माथि र तल यो यांत्रिक प्रणाली तीव्र उतार चढाव "उल्टो।" बन स्थिर स्थिति यो पनि यसको नाम छ। यो Kapitza पेंडुलम भनिन्छ।

को पेंडुलम को गुण

पेंडुलम धेरै रोचक गुण छ। ती सबै चिरपरिचित भौतिक नियमहरू द्वारा समर्थित छन्। कुनै पनि अन्य पेंडुलम को oscillation को अवधि जस्तै शरीर को आकार र आकार रूपमा विभिन्न परिस्थितिमा निर्भर, यो बिन्दु आदर निलम्बन को बिन्दु र गुरुत्वाकर्षण को केन्द्र, वजन वितरण बीच दूरी। शरीर झुन्डिएको अवधिको परिभाषा किन एकदम चुनौतीपूर्ण छ भन्ने छ। तल दिइएको छ सूत्र जो एक सरल पेंडुलम, को अवधि गणना गर्न धेरै सजिलो छ। यी ढाँचाको नियालेर को फलस्वरूप समान यांत्रिक प्रणाली मा सेट गर्न सकिन्छ:

• भने, जबकि पेंडुलम को नै लम्बाइ, भार को एक किसिम ले निलम्बित कायम राख्ने, को oscillation को अवधि नै, आफ्नो वजन निकै भिन्न हुनेछ हुनत प्राप्त। फलस्वरूप, पेंडुलम को अवधि लोड को वजन निर्भर गर्दैन।

• प्रणाली पेंडुलम मा अस्वीकार गर्न सुरु भने पनि ठूलो छ, तर फरक कोण, यो त्यहि अवधि उतार चढाव, तर फरक आयोम मा। ब्यालेन्स को केन्द्र विचलनको छैन गर्दा आफ्नो फारममा धेरै ठूलो उतार चढाव पर्याप्त नजिक हर्मोनिक हुनेछ। एक पेंडुलम जस्तै को समयावधि vibrational आयाम निर्भर गर्दैन। यांत्रिक प्रणाली को यस सम्पत्ति isochronism (- समय "Izosov" - बराबर ग्रीक "chronos" मा) भनिन्छ।

एक सरल पेंडुलम को अवधि

यो आंकडा oscillation प्राकृतिक अवधि प्रतिनिधित्व गर्दछ। परिसर तैयार भए तापनि प्रक्रिया नै धेरै सरल छ। यदि यार्न गणितीय पेंडुलम एल, र गुरुत्वाकर्षण प्रवेग G को लम्बाइ, यो मूल्य बराबर छ:

टी = 2π√L / G

कुनै तरिकामा प्राकृतिक oscillations को सानो अवधिको पेंडुलम को आम र oscillation आयाम निर्भर गर्दैन। यस मामला मा, एक गणितीय पेंडुलम कम लम्बाइ संग उत्प्रेरित गर्छ रूपमा।

एक गणितीय पेंडुलम को दोलन

गणितीय पेंडुलम, oscillates जो एक सरल अंतर समीकरण द्वारा वर्णन गर्न सकिन्छ:

x + ω2 पाप एक्स = 0,

जहाँ टी (x) - अज्ञात समारोह (समय टी मा संतुलन तल्लो बाट विक्षेपन को यो कोण, रेडियन मा व्यक्त); ω - सकारात्मक स्थिर को पेंडुलम (ω = √g / एल, को मापदण्डहरु देखि निर्धारण गरिन्छ जो जहाँ G - गुरुत्वाकर्षण को प्रवेग, र एल - एक साधारण पेंडुलम (निलम्बन) को लम्बाइ।

संतुलन स्थिति (हर्मोनिक समीकरण) निम्नानुसार नजिकै सानो oscillations समीकरण:

x + ω2 पाप एक्स = 0

को पेंडुलम को Oscillatory गति

sinusoid सार्दा, साना oscillations बनाउँछ जो पेंडुलम। दोस्रो अर्डर अंतर समीकरण सबै आवश्यकताहरु र यस्तो आन्दोलन को मापदण्डहरु पूरा गर्दछ। तपाईं गति र पछि स्वतन्त्र अचल निर्धारित जो निर्देशांक, सेट गर्न आवश्यक बाटो निर्धारण गर्न:

एक्स = पाप (θ ₀ + ωt),

जहाँ θ ₀ - प्रारम्भिक चरण, एक - oscillation को आयाम, ω - गति को समीकरण देखि निर्धारित चक्रीय आवृत्ति।

पेंडुलम (ठूलो आयोम लागि सूत्र)

यो यांत्रिक प्रणाली, एक ठूलो आयाम आफ्नो oscillations प्रदर्शन, यो थप जटिल यातायात व्यवस्था विषय हो। तिनीहरूले यस्तो पेंडुलम लागि सूत्र अनुसार हिसाब गरिन्छ:

पाप एक्स / 2 = यू * sn (ωt / यू),

जहाँ sn - साइन Jacobi, यू <लागि जो 1 आवधिक समारोह छ, र साना यू लागि यो सरल trigonometric साइन संग coincides। यू को मूल्य निम्न अभिव्यक्ति निर्धारण गरिन्छ:

यू = (ε + ω2) / 2ω2,

जहाँ ε = ई / mL2 (mL2 - को पेंडुलम को ऊर्जा)।

निम्न सूत्र द्वारा पेंडुलम को nonlinear oscillation अवधिको संकल्प:

टी = 2π / Ω,

जहाँ Ω = π / 2 * ω / 2K (यू), K - अण्डाकार अभिन्न, π - 3,14।

को separatrix को पेंडुलम आन्दोलन

यो गतिशील प्रणाली, जसमा दुई-आयामी चरण स्पेस separatrix trajectory भनिन्छ। पेंडुलम एक गैर-समय समयमा मा उत्प्रेरित गर्छ। समय को कता हो कता टाढा बिन्दु मा एक शून्य गति तिर चरम माथिल्लो बाट खस्छ, र त्यसपछि यसलाई बिस्तारै प्राप्त छ। उहाँले यसको मूल स्थिति फर्केपछि अन्ततः रोकियो।

को पेंडुलम को oscillation को आयाम संख्या अनुकरणीय नजिकिंदै भने, यो चरण विमान मा गति separatrix नजिक छ भने छ। यस मामला मा, यांत्रिक प्रणाली को एक सानो आवधिक ड्राइभिङ शक्ति को कार्य अन्तर्गत अस्तव्यस्त व्यवहार प्रदर्शन।

एक कोण CP संग संतुलन बाट एक सरल पेंडुलम को घटना मा tangential शक्ति Fτ = -MG पाप φ गुरुत्वाकर्षण हुन्छ। "घटाउ" साइन भएको tangential घटक को पेंडुलम को विचलन को दिशा बाट विपरीत दिशा मा निर्देशित भन्ने हो। एक अर्धव्यास एल संग एक परिपत्र चाप साथ एक्स पेंडुलम विस्थापन मार्फत संकेत गर्दा यसको कोणीय विस्थापन φ = एक्स / एल बराबर छ दोस्रो व्यवस्था Isaaka Nyutona, को प्रवेग सदिश र बल इच्छित मूल्य दिन को प्रक्षेपण लागि डिजाइन:

मिलीग्राम τ = Fτ = -MG पाप एक्स / एल

यो अनुपात आधारित यो पेंडुलम एक nonlinear प्रणाली, यसको संतुलन स्थिति फर्कन tends एक शक्ति रूपमा, छैन सधैं विस्थापन एक्स, पाप एक्स / एल गर्न समानुपातिक छ कि स्पष्ट छ

को गणितीय पेंडुलम सानो कंपन कार्य मात्र, यो एक हर्मोनिक थरथरानवाला छ। अर्को शब्दमा, यो एक यांत्रिक प्रणाली हर्मोनिक oscillations प्रदर्शन सक्षम बन्दछ। लगभग 15-20 ° कोण लागि यो लगभग मान्य छ। ठूलो आयोम संग पेंडुलम सुरिलो छैन।

एक पेंडुलम को सानो oscillations लागि न्यूटन व्यवस्था

यांत्रिक प्रणाली सानो oscillations कार्य भने, 2nd न्यूटन व्यवस्था यस हेर्नेछ:

मिलीग्राम τ = Fτ = -m * G / एल * एक्स।

यो आधारमा हामी एक सरल पेंडुलम को tangential प्रवेग चिन्ह "माइनस" यसको विस्थापन गर्न समानुपातिक छ भन्ने निष्कर्षमा पुग्न सक्छौं। यो प्रणाली एक हर्मोनिक थरथरानवाला हुन्छ जसद्वारा सर्त छ। को विस्थापन र प्रवेग बीच मोड्युल proportionality कारक कोणीय आवृत्ति को वर्ग बराबर:

ω02 = G / एल; ω0 = √ G / एल

यो सूत्र पेंडुलम यस प्रकारको सानो oscillations प्राकृतिक आवृत्ति झल्काउँछ। यो आधारमा

टी = 2π / ω0 = 2π√ G / एल

गणना ऊर्जा संरक्षण को व्यवस्था आधारित

पेंडुलम आन्दोलनहरु oscillating गुण ऊर्जा संरक्षण को व्यवस्था को मद्दतले वर्णन गर्न सकिँदैन। कि यो मन मा सार्ने गर्नुपर्छ को ऊर्जा क्षमता एक गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र मा पेंडुलम छ:

ई = mgΔh = mgL (1 - कस α) = mgL2sin2 α / 2

पूर्ण यांत्रिक ऊर्जा को गतिज र अधिकतम क्षमता बराबर: Epmax = Ekmsx = ई

तपाईं समीकरण को बायाँ र दायाँ पक्ष को व्युत्पन्न लिएर ऊर्जा संरक्षण को व्यवस्था, लिखित गरेपछि:

एपि + Ek = const

को अचल को व्युत्पन्न 0 बराबर भएकोले, त्यसपछि (एपि + Ek) '= 0. योगफल को व्युत्पन्न भएको डेरिवेटिव योगफल बराबर:

एपि '= (मिलीग्राम / एल * एक्स 2/2)' = मिलीग्राम / 2L * 2x * एक्स '= मिलीग्राम / एल * V + Ek' = (/ 2 mv2) = m / 2 (v2) '= m / 2 * 2v * V '= MV * α,

त्यसैले:

मिलीग्राम / एल * XV + एमवीए = (v मिलीग्राम / एल * एक्स + m α) = 0।

पछिल्लो सूत्र आधारित, हामी पाउन: α = - G / एल * एक्स।

को गणितीय पेंडुलम को व्यावहारिक आवेदन

प्रवेग मुक्त गिरावट को कारण ग्रह वरिपरि पाप्रो को घनत्व समान छैन, अक्षांश संग फरक हुन्छ। जहाँ चट्टानको एक उच्च घनत्व संग पाइन्छन्, यो अलिकति उच्च हुनेछ। गणितीय पेंडुलम को प्रवेग अक्सर अन्वेषण लागि प्रयोग गरिन्छ। विभिन्न खनिज लागि यसको सहायता नजर मा। बस एक पेंडुलम को oscillations संख्या गणना, यो पृथ्वीको bowels मा कोइला वा अयस्क पत्ता लगाउन सम्भव छ। यो छाडा चट्टानको मुनि झूट भन्दा बढी को घनत्व र वजन यी स्रोतहरू छन् भन्ने तथ्यलाई कारण छ।

सुकरात, अरस्तू, प्लेटो, Plutarch, आर्किमिडीज जस्ता प्रमुख विद्वान प्रयोग गणितीय पेंडुलम। तिनीहरूलाई थुप्रै यांत्रिक प्रणाली भाग्य र जीवन प्रभावित हुन सक्छ कि विश्वास गरे। आर्किमिडीज आफ्नो गणना संग गणितीय पेंडुलम प्रयोग। आजकल, धेरै occultists र psychics यसको भविष्यवाणीहरूको कार्यान्वयन, वा मान्छे छुटेको लागि खोज को लागि यो यांत्रिक प्रणाली प्रयोग गर्नुहोस्।

प्रसिद्ध फ्रान्सेली astronomer र वैज्ञानिक, आफ्नो अनुसन्धान को लागि Flammarion पनि गणितीय पेंडुलम प्रयोग। उहाँले आफ्नो मद्दत उहाँले नयाँ ग्रह को खोज, को Tunguska meteorite को उद्भव, र अन्य महत्त्वपूर्ण घटनाहरू भविष्यवाणी गर्न सक्षम थियो दावी। जर्मनी मा दोस्रो विश्व युद्ध (बर्लिन) को समयमा एक संस्थान विशेष पेंडुलम को रूपमा काम गरे। आजकल, यस्तो अनुसन्धान गर्न parapsychology उपलब्ध म्यूनिख संस्थान छ। को पेंडुलम आफ्नो काम "radiesteziey" भनिन्छ यो संस्थाले को कर्मचारी।