एक त्रिकोण को कोण योगफल। एक त्रिकोण को कोण योगफल मा प्रमेय

को त्रिकोण तीन पक्ष (तीन कोण) भइरहेको एक बहुभुजको छ। अक्सर, भाग राजधानी अक्षर, जो विपरीत माथिल्लो प्रतिनिधित्व अनुरूप सानो अक्षर द्वारा denoted। यस लेखमा हामी यी एक त्रिकोण को कोण योगफल बराबर छ के परिभाषित जो ज्यामितियआकार, प्रमेय, को प्रकार मा एक नजर।

प्रकार सबै भन्दा ठूलो कोण

तीन शीर्ष संग बहुभुजको को निम्न प्रकार:

• जसमा सबै कोण तेज छन् तीव्र-कोणात्मक,;
• आयताकार एक सही कोण भइरहेको, यो गठन छेउमा, को खुट्टा उल्लेख, र सही कोण गर्न विपरीत disposed छ कि पक्ष पनि hypotenuse भनिन्छ;
• obtuse गर्दा एक कोण obtuse छ ;
• जसको दुई पक्ष तेस्रो बराबर हुन् र तिनीहरूले पार्श्व भनिन्छ, र समदिबाहु, - एक आधार संग एक त्रिकोण;
• equilateral तीन बराबर पक्ष भएको।

गुण

त्रिकोण को प्रत्येक प्रकार को विशेषता हो कि आधारभूत गुणहरू आवंटित:

• सबैभन्दा ठूलो पक्ष सधैं ठूलो कोण, र विपरित छ विपरीत;
• को बराबर-सबै भन्दा ठूलो पार्टी विपरीत बराबर कोण, र विपरित हो;
• कुनै पनि त्रिकोण दुई तीव्र कोण छ;
• कुनै पनि आन्तरिक कोण आसन्न छैन अतिरिक्त भन्दा बाहिरी कोण;
• कुनै पनि दुई कोण योगफल सधैं 180 भन्दा कम डिग्री छ;
• बाहिरी कोण उसलाई mezhuyut जो छैन अन्य दुई कुनामा, योगफल बराबर छ।

एक त्रिकोण को कोण योगफल मा प्रमेय

को प्रमेय तपाईं ज्यामितीय आकार, को Euclidean विमान मा स्थित छ जो सबै कुनामा नपुगेको भने, त्यसपछि आफ्नो योगफल 180 डिग्री हुनेछ भनी उल्लेख। गरेको यो प्रमेय प्रमाणित गर्न प्रयास गरौं।

हामी संग माथिल्लो मिनट एक मनपरी त्रिकोण गरौं। एम को शीर्ष पकड हुनेछ मार्फत लाइन एउटा सीधा समानान्तर KN (युक्लिड पनि यो लाइन भनिन्छ)। यो अंक K र एक लाइन MN विभिन्न पक्ष बाट प्रबन्ध ताकि बिन्दु एक विख्यात गर्नुपर्छ। हामी एम्स र MUF, को नै कोण को भित्री जस्तै प्रत्यक्ष CN र एमए, समानान्तर जो सँग संयोजनमा MN INTERSECTING गठन गर्ने crosswise झूठ जो प्राप्त। यसबाट यो एम र एन को शीर्ष मा स्थित त्रिकोण, को कोण योगफल को CMA कोण को आकार बराबर छ कि निम्नानुसार। सबै तीन कोण KMA र MCS को कोण योगफल बराबर एक योगफल समावेश। डाटा भएकोले आन्तरिक कोण नातेदार पक्षीय समानान्तर रेखाहरू सीएल र मुख्यमंत्री एमए INTERSECTING मा, आफ्नो योगफल 180 डिग्री छ। यो प्रमेय प्रमाणित गर्छ।

परिणाम

माथिको प्रमेय माथिको को निम्न corollary implies: हरेक त्रिकोण दुई तीव्र कोण छ। यो प्रमाणित गर्न हामीलाई यो geometrical आंकडा केवल एक तीव्र कोण छ मान गरौं। तपाईं पनि कुनामा को कि कुनै पनि तेज छैनन् मान गर्न सक्नुहुन्छ। यस मामला मा यो परिमाण जो बराबर वा 90 डिग्री भन्दा ठूलो छ कम्तिमा दुई कोण, हुनुपर्छ। तर त्यसपछि कोण योगफल 180 डिग्री भन्दा ठूलो छ। कुनै कम, कुनै थप - एक त्रिकोण को प्रमेय योगफल कोण अनुसार 180 ° बराबर छ रूपमा तर, यो हुन सक्दैन। प्रमाणित गर्न थियो के।

सम्पत्ति बाहिर कुनामा

बाह्य छन् जो एक त्रिकोण को कोण, योगफल के हो? यो प्रश्नको जवाफ दुई तरिकामा एक लागू गरेर प्राप्त गर्न सकिन्छ। पहिलो प्रत्येक भर्टेक्स एक लिएको जुन, त्यो छ, तीन कोण को कोण, योगफल फेला पार्न आवश्यक छ। दोस्रो तपाईं माथिल्लो मा छ कोण योगफल फेला पार्न आवश्यक छ कि implies। पहिलो embodiment को शुरुवात सामना गर्न। दुई प्रत्येक माथि - तसर्थ, त्रिकोण छ बाहिरी कुनामा समावेश गर्दछ। तिनीहरूले ठाडो भएकोले प्रत्येक जोडी, आफूलाई बीच बराबर कोण छ:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6।

साथै, यो एक त्रिकोण को बाहिरी कुना छन् जो उसलाई mezhuyutsya छैन दुई भित्री, योगफल बराबर भनेर चिनिन्छ। त्यसैले,

∟1 = ∟A + ∟S, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟S।

यसबाट यो प्रत्येक भर्टेक्स नजिकै एक द्वारा एक लिएको छन् जो बाहिरी कोण, योगफल बराबर हुनेछ देखिन्छ:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + + ∟S ∟A ∟V + + + ∟V ∟S = 2 (x ∟A + ∟V ∟S +)।

को कोण योगफल 180 डिग्री बराबर भन्ने तथ्यलाई दिइएको, यो कि ∟A + ∟V ∟S = + 180 ° तर्क गर्न सकिन्छ। यो कि ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 X 180 ° = 360 ° हो। दोस्रो विकल्प प्रयोग गरिएको छ भने, छ कोण योगफल दुई पटक तदनुसार ठूलो हुनेछ। एक त्रिकोण को कोण योगफल अर्थात् बाहिर हुनेछ:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 (x ∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °।

दायाँ त्रिकोण

कस्तो सही त्रिकोण को कोण योगफल बराबर छ, द्वीप छ? जवाफ भन्छ जो एक त्रिकोण को कोण 180 डिग्री सम्म थप्ने प्रमेय देखि, फेरि छ। एक ध्वनि हाम्रो दाबी (सम्पत्ति) निम्नानुसार: एक सही त्रिकोण तेज कोण 90 डिग्री सम्म थप्न मा। हामी यसको सत्यता प्रमाणित। हुन दिइएको त्रिकोण मिनट, जो ∟N = 90 ° त्यहाँ गरौं। यो कि ∟K ∟M = + 90 ° प्रमाणित गर्न आवश्यक छ।

तसर्थ, कोण ∟K + ∟M ∟N + = 180 ° योगफल मा प्रमेय अनुसार। यो अवस्थामा यसलाई ∟N 90 ° = बताए छ। यो ∟K ∟M + + 90 ° = 180 ° बाहिर जान्छ। 90 ° = 90 ° - त्यो ∟K ∟M + = 180 ° छ। त्यो के हामी प्रमाणित गर्नुपर्छ छ।

एक सही त्रिकोण को माथि गुण बाहेक, तपाईंले यी थप्न सक्नुहुन्छ:

• जो खुट्टा विरुद्ध झूठ तेज छन् कोण,;
• को खुट्टा को भन्दा ठूलो त्रिकोणात्मक को hypotenuse;
• को hypotenuse भन्दा बढि खुट्टा योगफल;
• 30 डिग्री को कोण गर्न विपरीत निहित जो त्रिकोण को खुट्टा, को hypotenuse को आधा, कि यसको आधा बराबर छ।

को ज्यामितीय आकार अर्को सम्पत्ति रूपमा Pythagorean प्रमेय प्रतिष्ठित गर्न सकिन्छ। त्यो 90 डिग्री (आयताकार) को एक कोण संग एक त्रिकोण मा, खुट्टा को योगफल को hypotenuse को वर्ग बराबर भनेर तर्क छ।

एक समदिबाहु त्रिकोण को कोण योगफल

पहिले हामी एक समदिबाहु त्रिकोण दुई बराबर पक्ष समावेश तीन शीर्ष संग बहुभुजको हो भन्नुभयो। यो सम्पत्ति geometrical आंकडा ज्ञात छ: यसको आधार मा कोण बराबर। हामीलाई यो प्रमाणित गरौं।

यसको आधार - जो समदिबाहु, अनुसूचित जाति को त्रिकोण मिनट, लिनुहोस्। हामी ∟K = ∟N प्रमाणित गर्न आवश्यक छ। त्यसैले, हामीलाई एमए मान गरौं - मिनट हाम्रो त्रिकोण को bisector छ। समानता को पहिलो चिन्ह ICA त्रिकोण त्रिकोण MNA छ। अर्थात्, परिकल्पना द्वारा मुख्यमंत्री = सना, एमए एक साधारण पक्ष, = ∟2 छ कि ∟1, दिइएको किनभने एमए - यो bisector। दुई ट्यूटोरियल को समानता प्रयोग गरेर एक ∟K = ∟N तर्क गर्न सक्छ। त्यसैले प्रमेय साबित भएको छ।

तर हामी एक त्रिकोण (समदिबाहु) को कोण योगफल के छ, रुचि राख्नुहुन्छ। यस सन्दर्भमा यो यसको सुविधाहरू छैनन्, हामी पहिले छलफल भएको प्रमेय देखि सुरु हुनेछ। भनेर हामी भन्न सक्छौं, छ कि ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, वा 2 एक्स ∟K ∟M + = 180 ° (∟K = ∟N रूपमा)। यो एक त्रिकोण को कोण योगफल मा प्रमेय पहिले साबित भएको थियो रूपमा सम्पत्ति प्रमाणित हुनेछ।

एक त्रिकोण को कुना को विचार गुण बाहेक, त्यहाँ पनि यस्तो महत्त्वपूर्ण बयान हो:

• मा एक समभुजीयत्रिभुज उचाइ, आधार गर्न कम भएको थियो जो, को बराबर पक्ष र बीच छ जो कोण को औसत bisector साथ छ सन्तुलन को अक्ष यसको आधार को;
• एक ज्यामितीय आंकडा को पक्ष गर्न आयोजित जुन औसत (bisector, ऊंचाई), बराबर छन्।

समभुजीयत्रिभुज

यो पनि सही भनिन्छ, सबै दल बराबर छन् जो त्रिकोण छ। र त्यसैले पनि बराबर र कोण। तिनीहरूलाई प्रत्येक 60 डिग्री छ। हामीलाई यो सम्पत्ति प्रमाणित गरौं।

हामी एक त्रिकोण मिनट छ भनेर मान्छु गरौं। हामी किलोमिटर = एचएम = KH भनेर थाह छ। यो समभुजीयत्रिभुज ∟K = ∟M = ∟N मा आधार मा स्थित कोण को सम्पत्ति को अनुसार, अर्थ छ। एक त्रिकोण प्रमेय ∟K + ∟M ∟N को कोण योगफल अनुसार देखि, + = 180 °, त्यसपछि एक्स 3 = 180 ° ∟K वा ∟K = 60 °, ∟M = 60 °, ∟N = 60 °। तसर्थ, दाबी साबित भएको छ। माथिको प्रमेय आधारित माथिको प्रमाण बाट देखेको रूप मा, कोण योगफल एक समभुजीयत्रिभुज को, कुनै पनि अन्य त्रिकोण को कोण योगफल रूपमा 180 डिग्री छ। फेरि यो प्रमेय साबित आवश्यक छैन।

त्यहाँ अझै पनि एक समभुजीयत्रिभुज को विशेषता केही गुणहरू छन्:

• एक geometrical आंकडा मा औसत bisector उचाइ समान, र आफ्नो लम्बाइ रूपमा (क एक्स √3) गणना गरिएको छ: 2;
• यो बहुभुजको सर्कल circumscribing भने, त्यसपछि अर्धव्यास (एक एक्स √3) बराबर हुनेछ: 3;
• एक सर्कल समभुजीयत्रिभुज मा कुँदिएको भने, यसको अर्धव्यास (एक एक्स √3) हुनेछ: 6;
• (A2 एक्स √3): को ज्यामितीय आंकडा को क्षेत्र सूत्र द्वारा गणना छ 4।

Obtuse त्रिकोण

परिभाषा गरेर, एक obtuse-कोणात्मक त्रिकोण, यसको कुनामा एक 90 180 डिग्री बीच छ। तर ज्यामितीय आकार तीव्र अन्य दुई कोण, तिनीहरूले 90 डिग्री भन्दा बढी छैन भनेर निष्कर्षमा सकिन्छ भन्ने तथ्यलाई दिइएको। त्यसैले, एक त्रिकोण प्रमेय को कोण योगफल एक obtuse त्रिकोण मा कोण योगफल गणना मा काम गर्छ। त्यसैले, हामी एक त्रिकोण को obtuse कोण योगफल 180 डिग्री छ कि माथि प्रमेय आधारित सुरक्षित भन्न सकिन्छ। फेरि, यो प्रमेय पुन प्रमाण आवश्यक छैन।