Cramer शासनले र यसको आवेदन

Cramer शासनले - सुलझाने लागि सही तरिका मध्ये एक छ रैखिक बीजीय समीकरण (Slough) को प्रणाली। यसको शुद्धता प्रणाली matrix को निर्धारक को प्रयोग कारण, साथै प्रमेय को प्रमाण मा लगाएको प्रतिबंध केही रूपमा।

गुणांकहरूको सम्बन्धित संग रैखिक बीजीय समीकरण को एक प्रणाली, उदाहरणका लागि, आर को एक अधिकता - unknowns X1 को वास्तविक संख्या, एक्स 2, ..., XN अभिव्यक्ति को एक संग्रह हो

ai2 X1 + ai2 X2 + ... ऐन XN = संग द्वि म = 1, 2, ..., पु, (1)

जहाँ aij, द्वि - वास्तविक संख्या। यी अभिव्यक्ति प्रत्येक भनिन्छ एक रैखिक समीकरण, को unknowns को गुणांकहरूको, द्वि - - समीकरण स्वतन्त्र गुणांकहरूको aij।

(1) को समाधान N-आयामी सदिश उल्लेख एक्स ° = (X1 °, एक्स 2 °, ..., XN °), को unknowns X1 लागि सिस्टम मा जो प्रतिस्थापन मा, एक्स 2, ..., XN, प्रणाली मा लाइनहरु को प्रत्येक सर्वश्रेष्ठ समीकरण बन्नेछ ।

प्रणाली अनुरूप यो खाली सेट को समाधान सेट संग coincides भने, असंगत यो कम्तिमा एक समाधान छ भने भनिन्छ, र।

यो Cramer को विधि प्रयोग गरेर रैखिक समीकरण को प्रणाली समाधान पत्ता लगाएर, म्याट्रिक्स प्रणाली मूलतः प्रणाली मा unknowns र समीकरण को नै नम्बर मतलब जो, वर्ग हुन भनेर सम्झनु पर्छ।

त्यसैले, तपाईं कम्तिमा थाहा हुनुपर्छ, Cramer तरिका प्रयोग गर्न को म्याट्रिक्स छ के रैखिक बीजीय समीकरण को एक प्रणाली, र यो जारी छ। र दोश्रो, मैट्रिक्स र संगणना को आफ्नो कौशल को determinant भनिन्छ कुरा बुझ्न।

हामीलाई यो ज्ञान तपाईं अधिकार भनेर मान्छु गरौं। सुन्दर! त्यसपछि तपाईं बस क्रेमर विधि निर्धारण सूत्रहरू सम्झिन छ। कण्ठ निम्न संकेतन प्रयोग सरल बनाउन:

• Det - प्रणाली को matrix को मुख्य determinant;

• deti - एक स्तम्भ सदिश जसको तत्व रैखिक बीजीय समीकरण को सही पक्ष छन् गर्न म्याट्रिक्स को म-औं स्तम्भ प्रतिस्थापन गरेर प्रणाली को प्राथमिक म्याट्रिक्स प्राप्त गरेको matrix को determinant छ;

• N - प्रणाली मा unknowns र समीकरण को संख्या।

त्यसपछि Cramer शासनले गनना म-औं घटक जाइ (म = 1, N ..) N-आयामी सदिश एक्स लेखिएको सकिन्छ

जाइ = deti / Det, (2)।

यस मामला मा, Det शून्य देखि कडाई फरक।

प्रणाली को समाधान को विशिष्टताको यो संयुक्त रूप शून्य प्रणालीको मुख्य determinant को असमानता अवस्था द्वारा प्रदान गर्दा। अन्यथा, (XI) को योगफल, बर्ग भने, कडाई सकारात्मक, त्यसपछि SLAE वर्ग matrix infeasible छ। यस विशेष गर्दा कम्तिमा deti nonzero मध्ये उत्पन्न गर्न सक्नुहुन्छ।

उदाहरणका 1। Cramer गरेको सूत्र प्रयोग गरेर तीन-आयामी lau सिस्टम समाधान गर्न।
2 X1 + X2 + x3 = 31 4,
5 X1 + X2 + x3 = 2 29,
3 X1 - X2 + x3 = 10।

निर्णय। मैट्रिक्स को म-औं पङ्क्ति छ - हामी ऐ कहाँ लाइन द्वारा प्रणाली लाइन, को म्याट्रिक्स लेख्न।
A1 = (1 2 4), क 2 = (5 1 2), A3 = (3, -1, 1)।
स्तम्भ मुक्त गुणांकहरूको ख = (31 अक्टोबर 29)।

मुख्य प्रणाली determinant Det छ
Det = A11 A22 a33 + a12 A23 a31 + a31 A21 a32 - A13 A22 a31 - A11 a32 A23 - a33 A21 a12 = 1 - 20 + 12 - 12 + 2 - 10 = -27।

प्रयोग A11 = B1, A21 = B2, a31 = B3 det1 को क्रमवय गणना गर्न। त्यसपछि
det1 = B1 A22 a33 + a12 A23 B3 + a31 B2 a32 - A13 A22 B3 - B1 a32 A23 - a33 B2 a12 = ... = -81।

त्यसै गरी, det2 प्रयोग प्रतिस्थापन a12 = B1, A22 = B2, a32 = B3 गणना गर्न, र, तदनुसार, det3 गणना गर्न - A13 = B1, A23 = B2, a33 = B3।
135 - त्यसपछि तपाईं det2 = -108, र det3 = जाँच गर्न सक्छन्।
(- 27) = 3, X2 = -108 / (- 27) = 4, x3 = -135 / (- 27) = 5 सूत्र अनुसार Cramer X1 = -81 / पाउन।

उत्तर: X ° = (3,4,5)।

यो नियम को applicability परेर, क्रेमर सुलझाने रैखिक समीकरण को प्रणाली को विधि अप्रत्यक्ष, उदाहरणका लागि, एउटा मापदण्ड K को मूल्य आधारमा समाधान गर्ने सम्भावित नम्बर मा सिस्टम छानबीन प्रयोग गर्न सकिन्छ।

+ | | X + KY + 4 | <= 0 ठ्याक्कै एक समाधान छ - - वाई 4 KX | उदाहरण 2. प्यारामिटर K असमानता को के मान मा निर्धारण गर्न।

निर्णय।
यो असमानता, मोड्युल समारोह को परिभाषा मात्र दुवै अभिव्यक्ति साथ शून्य छन् भने गर्न सकिन्छ। त्यसैले, यो समस्या रैखिक बीजीय समीकरण को समाधान फेला कम छ

KX - वाई = 4,
x + KY = -4।

यो सिस्टम समाधान यो मुख्य determinant छ भने मात्र
Det कश्मीर = ^ {2} + 1 nonzero छ। यो अवस्था को प्यारामिटर K को सबै वास्तविक मानहरू लागि सन्तुष्ट छ कि स्पष्ट छ।

उत्तर: खुट्टामीटर K को सबै वास्तविक मानहरू लागि।

यस प्रकारको को उद्देश्य पनि को क्षेत्र मा धेरै व्यावहारिक समस्या कम गर्न सकिन्छ गणित, भौतिक वा रसायन।