गठन, माध्यमिक शिक्षा र विद्यालय
विमान को समीकरण: बनाउन कसरी? प्रकार विमान समीकरण
विमान अन्तरिक्ष विभिन्न तरिकामा (एक डट र सदिश, को सदिश र दुई अंक, तीन अंक, आदि) मा परिभाषित गर्न सकिन्छ। यो मन मा, विमान समीकरण फरक प्रकार गर्न सकिन्छ। पनि केही अवस्थामा विमान हुन सक्छ समानान्तर, लम्ब, INTERSECTING, आदि यो र यस लेखमा कुरा हुनेछ। हामी विमान र मात्र को सामान्य समीकरण बनाउन सिक्न हुनेछ।
समीकरण को सामान्य फारम
मानौं आर स्पेस 3, एक आयताकार समन्वय सिस्टम XYZ छ जो छ। हामी परिभाषित एक सदिश α, सुरु बिन्दु O. देखि जारी गरिनेछ जो सदिश α को अन्त को माध्यम ले यसलाई लम्ब छ विमान पी आकर्षित।
एक मनपरी बिन्दु क्यू = (एक्स, वाई, Z) मा पी जनाउँछ। बिन्दु क्यू साइन पत्र पृ अर्धव्यास सदिश। यस सदिश को लम्बाइ α पी = IαI र Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ) बराबर छ।
यो एकाइ सदिश, सदिश α रूपमा दिशा मा निर्देशित छ जो। α, β र γ - Z क्रमशः सदिश र सकारात्मक दिशा बीच गठन गरिएका कोण Ʋ ठाउँ अक्षहरूमा एक्स, वाई, छन्। सदिश QεP Ʋ मा एक बिन्दु को प्रक्षेपण पी (पृ, Ʋ) = पी (r≥0) बराबर छ जो एक स्थिर छ।
माथिको समीकरण गर्दा पी = 0 अर्थपूर्ण छ। यसको निर्देशन, जो सदिश Ʋ निर्धारित अर्थ हुनत यो मामला मा मात्र N विमान, बिन्दु हे (α = 0), मूल छ, र एकाइ सदिश Ʋ, बिन्दु हे देखि जारी पार हुनेछ पी लम्ब हुनेछ, अप साइन गर्न। अघिल्लो समीकरण हाम्रो विमान पी छ, सदिश फारममा व्यक्त गरे। तर यसको निर्देशांक को दृश्य छ:
पी भन्दा ठूलो वा बराबर 0. गर्न हामी सामान्य रूप मा विमान समीकरण फेला गरेको छ।
सामान्य समीकरण
यदि निर्देशांक मा समीकरण छ कि छैन शून्य बराबर कुनै पनि नम्बरबाट गुणन, हामी धेरै विमान परिभाषित कि यस समीकरण बराबर प्राप्त। यसलाई निम्न फारम हुनेछ:
यहाँ, ए, बी, सी - शून्य फरक साथ संख्या छ। यो समीकरण विमान को सामान्य फारम को समीकरण भनिन्छ।
को विमानहरु को समीकरण। विशेष अवस्थामा
समीकरण साधारण अतिरिक्त अवस्था संग परिमार्जन गर्न सकिन्छ। तिनीहरूलाई केही विचार गर्नुहोस्।
को गुणक एक 0. छ कि यसले वहन कि predetermined अक्ष साँढे गर्न विमान समानान्तर। यस मामला मा, समीकरण को रूप परिवर्तन: वू + Cz + डी = 0।
त्यसै गरी, समीकरण को फारम र निम्न अवस्था संग भिन्न हुनेछ:
- पहिले, यदि बी = 0, को अक्ष ओए गर्न Parallelism संकेत थियो जो बन्चरो + Cz + डी = 0 समीकरण परिवर्तन,।
- दोश्रो, यदि सी = 0, समीकरण बन्चरो + द्वारा + डी = 0 परिवर्तन छ, कि predetermined अक्ष Oz गर्न समानान्तर बारेमा भन्न हो।
- तेस्रो, यदि डी = 0, समीकरण बन्चरो + द्वारा + लो = 0, विमान प्रतिच्छेदन हे (मूल) अर्थ थियो जो रूपमा प्रकट हुनेछ।
- चौथो, यदि एक = बी = 0, लो + डी = 0 समीकरण परिवर्तन, ओक्सी Parallelism साबित हुनेछ जुन।
- पाँचौं, यदि बी = सी = 0, समीकरण बन्दछ जो विमान Oyz गर्न समानान्तर छ भन्ने हो बन्चरो + डी = 0।
- Sixthly, यदि एक = सी = 0, समीकरण फारम वू + डी = 0 लिन्छ अर्थात्, Parallelism Oxz रिपोर्ट हुनेछ।
खण्डहरूमा मा समीकरण को फारम
मामला जहाँ संख्या ए, बी, सी, डी शून्य फरक, समीकरण को फारम (0) निम्नानुसार हुन सक्छन्:
एक्स / एक + Y / ख + Z / ग = 1,
wherein एक = -D / एक, ख = -D / बी, सी = -D / सी
हामी टुक्रा मा विमान को एक परिणाम समीकरण रूपमा प्राप्त। (0, ख, 0), र Oz - - (0,0, हरू) यो विमान निर्देशांक (एक, 0,0), ओए संग बिन्दु मा एक्स-अक्ष काट्ने भनेर उल्लेख गर्नुपर्छ।
समीकरण एक्स / एक + Y / ख + Z / ग = 1, यो एक predetermined समन्वय सिस्टम गर्न नियुक्ति विमान नातेदार दृष्टिगत गर्न गाह्रो छैन दिइएको।
सामान्य सदिश को निर्देशांक
सामान्य सदिश N विमान पी गर्न विमान को सामान्य समीकरण, अर्थात् N (ए, बी, सी) को गुणांकहरूको छन् कि निर्देशांक छ।
सामान्य N को निर्देशांक निर्धारण गर्न, यो दिइएको विमान सामान्य समीकरण थाहा पर्याप्त छ।
छ जो खण्डहरूमा मा समीकरण, प्रयोग गर्दा फारम एक्स / एक + Y / ख + Z / ग = 1, सामान्य समीकरण प्रयोग गर्दा कुनै पनि सामान्य सदिश को निर्देशांक लिखित सकिन्छ रूपमा दिइएको विमान: (1 / एक + 1 / B + 1 / ग)।
यसलाई मदत गर्ने सामान्य सदिश विभिन्न समस्या समाधान गर्न भनेर उल्लेख गर्नुपर्छ। सबै भन्दा साधारण समस्या प्रमाण लम्ब वा समानान्तर विमानहरु मा निर्वाचकगण गरिन्छ, विमानहरु वा विमानहरु र सीधा रेखाहरू बीच कोण बीच कोण फेला को कार्य।
बिन्दु सामान्य सदिश को विमान समीकरण र निर्देशांक अनुसार टाइप
एक nonzero सदिश N, दिइएको विमान लम्ब, एक predetermined विमान गर्न भनिन्छ सामान्य (सामान्य)।
यस समन्वय ठाउँ मा (एक आयताकार समन्वय प्रणाली) भनेर Oxyz सेट मानौं:
- निर्देशांक संग Mₒ बिन्दु (hₒ, uₒ, zₒ);
- शून्य सदिश N = म + B * जे C * K एक *।
तपाईं सामान्य N लम्ब Mₒ बिन्दु मार्फत बित्दै कि विमान को समीकरण बनाउन आवश्यक छ।
स्पेस हामी कुनै पनि मनपरी बिन्दु चयन र जनाउँछ एम (एक्स, वाई, Z)। प्रत्येक बिन्दुमा एम (एक्स, वाई, Z) को अर्धव्यास सदिश गरौं हुनेछ आर = एक्स * म + Y * जे + Z * K, र एक बिन्दु Mₒ को अर्धव्यास सदिश (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * म uₒ + * जे + zₒ * K। यस सदिश MₒM को सदिश N लम्ब हुन यदि बिन्दु एम, दिइएको विमान आबद्ध हुनेछ। हामी scalar उत्पादन प्रयोग orthogonality अवस्था लेख्नुहोस्:
[MₒM, N] = 0।
MₒM = आर-rₒ भएकोले विमान को सदिश समीकरण यो हेर्नेछ:
[आर - rₒ, N] = 0।
यो समीकरण पनि अर्को आकार हुन सक्छ। यो उद्देश्य लागि, scalar उत्पादन को गुण र समीकरण को बायाँ तर्फ रूपान्तरित। [आर - rₒ, N] = [आर, एन] - [rₒ, N]। [Rₒ, N] को रूपमा denoted भने, हामी निम्न समीकरण प्राप्त [आर, एन] - एक = 0 वा [आर, एन] = को, विमान हौं भनेर दिइएको अंक को अर्धव्यास-vectors को को सामान्य सदिश मा अनुमानहरु को निरन्तरताले व्यक्त जो।
अब तपाईं समन्वय प्रकार रेकर्डिङ विमान हाम्रो सदिश समीकरण प्राप्त गर्न सक्छन् [आर - rₒ, N] = 0. भएकोले आर-rₒ = (एक्स-hₒ) * म + (वाई-uₒ) * जे + (Z-zₒ) * K, र N = म + B * जे C * K एक * हामी छ:
यसलाई हामी समीकरण बिन्दु मार्फत पारित सामान्य N लम्ब विमान गठन गरिएको छ भनेर बाहिर जान्छ:
एक * (X hₒ) + B * (वाई uₒ) एस * (Z-zₒ) = 0।
विमान समीकरण र सदिश विमान collinear दुई अंक को निर्देशांक अनुसार टाइप
हामी दुई मनपरी अंक एम '(एक्स', वाई ', Z') र एम "(X", वाई ", Z"), साथै सदिश (एक ', एक ", एक ‴) परिभाषित।
अब हामी समीकरण predetermined विमान अवस्थित बिन्दु एम 'र एम "मार्फत बित्दै जो, र निर्देशांक एम (एक्स, वाई, Z) समानान्तर दिइएको सदिश संग प्रत्येक बिन्दुमा लेख्न सक्छ।
यसरी M'M vectors को एक्स = {एक्स ', वाई-वाई'; ZZ '} र एम "एम = {X" -x', वाई 'वाई'; Z "-z '} को सदिश संग coplanar हुनुपर्छ एक = (एक ', एक "जसको अर्थ, एक ‴), कि (M'M एम" एम, क) = 0।
त्यसैले ठाउँ मा एक विमान को हाम्रो समीकरण यो हेर्नेछ:
विमान समीकरण को प्रकार, तीन अंक पार
जो नै लाइन आबद्ध छैन, (एक्स ', वाई', Z '), (एक्स', वाई ', Z') (एक्स ‴ नै ‴, Z ‴),: का हामी तीन अंक छ भन्न गरौं। यसलाई मार्फत तीन अंक निर्दिष्ट पारित विमान को समीकरण लेख्न आवश्यक छ। ज्यामिति सिद्धान्त यो सिर्फ एक र मात्र हो, विमान यस प्रकारको अवस्थित कि तर्क छ। यो विमान बिन्दु प्रतिच्छेदन देखि (एक्स ', वाई', Z '), यसको समीकरण फारम हुनेछ:
यहाँ, ए, बी, र सी एकै समयमा शून्य देखि भिन्न छन्। पनि दिइएको विमान थप दुई अंक प्रतिच्छेदन (X ", वाई", Z ") र (x ‴, वाई ‴, Z ‴)। यो जडान मा बाहिर गर्नुपर्छ अवस्था यस प्रकारको:
अब हामी एक वर्दी सिस्टम सिर्जना गर्न सक्नुहुन्छ समीकरण (रैखिक) को unknowns यू, V, W संग:
हाम्रो मामला एक्स मा, Y वा Z समीकरण (1) संतुष्ट जो मनपरी बिन्दु खडा। समीकरण (1) र समीकरण (2) र माथिको आंकडा मा संकेत समीकरण को (3) सिस्टम को एक प्रणाली विचार, को सदिश संतुष्ट एन (ए, बी, सी) nontrivial छ। प्रणाली को determinant शून्य छ किनभने यो छ।
समीकरण (1) हामी भयो कि, यो विमान को समीकरण छ। 3 बिन्दु त्यो साँच्चै जान्छ, र यो जाँच गर्न सजिलो छ। यो गर्न, हामी पहिलो पंक्ति मा तत्व द्वारा determinant विस्तार। विद्यमान गुण determinant हाम्रो विमान साथ तीन मूल predetermined बिन्दु प्रतिच्छेदन निम्नानुसार (एक्स ', वाई', Z '), (X ", वाई", Z "), (X ‴, वाई ‴, Z ‴)। त्यसैले हामी अगाडि कार्य गर्ने निर्णय गरे।
को विमानहरु बीच Dihedral कोण
Dihedral कोण एक स्थानिक ज्यामितीय आकार एक सीधा लाइन बाट emanate दुई आधा-विमानहरु द्वारा गठन छ। अर्को शब्दमा, आधा-विमानहरु सीमित छ जो स्पेस भाग।
हामीले निम्न समीकरण दुई विमान छ मानौं:
हामीलाई थाहा छ कि सदिश एन = (ए, बी, सी) र N¹ = (A¹, H¹, S¹) predetermined विमानहरु अनुसार लम्ब छन्। यस सन्दर्भमा, बीच vectors को एन र N¹ बराबर कोण (dihedral), यी विमानहरु बीच स्थित छ जो φ को कोण। को scalar उत्पादन दिएको छ:
NN¹ = | N || N¹ | किनकी φ,
ठीक किनभने
cosφ = NN¹ / | N || N¹ | = (AA¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ (A² + s² + V²)) * (√ (A¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²))।
यो कि 0≤φ≤π विचार गर्न पर्याप्त छ।
वास्तवमा दुई विमानहरु कि काट्ने, फारम दुई कोण (dihedral): φ 1 र φ 2। आफ्नो योगफल (φ 1 + φ 2 = π) π बराबर छ। आफ्नो cosines लागि, तिनीहरूको निरपेक्ष मान बराबर कि छ किनकी φ 1 = -cos φ 2 हो, तर तिनीहरू फरक संकेत हो,। समीकरण (0) ए, क्रमशः बी र -A, -B को सी र -C, समीकरण बदलिएको छ भने, हामी प्राप्त, एउटै विमान, मात्र कोण समीकरण कस φ मा φ निर्धारण गर्नेछ = उएन 1 / | एन || एन 1 | यो π-φ द्वारा प्रतिस्थापन गरिनेछ।
को लम्ब विमान को समीकरण
विमान लम्ब भनिन्छ, जो बीच कोण 90 डिग्री छ। माथि प्रस्तुत सामाग्री प्रयोग गरेर, हामी अन्य लम्ब एक विमान को समीकरण पाउन सक्नुहुन्छ। हामी दुई विमानहरु छ मानौं: बन्चरो + द्वारा + Cz + डी = 0, र + A¹h V¹u S¹z + + डी = 0। हामी तिनीहरूले orthogonal छन् भनेर भन्न सकिन्छ भने कस = 0। यो कि NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ + = 0 हो।
एक समानान्तर विमान को समीकरण
यसलाई जो साधारण कुनै अंक समावेश दुई समानान्तर विमानहरु उल्लेख।
अवस्था समानान्तर विमानहरु को (आफ्नो समीकरण अघिल्लो अनुच्छेदमा जस्तै हो) छ कि vectors को एन र N¹, तिनीहरूलाई लम्ब छन् जो, collinear। यो निम्न अवस्था proportionality पूरा अर्थ:
एक / A¹ = बी / सी = H¹ / S¹।
यदि समानुपातिक सर्तहरू विस्तार गर्दै छन् - एक / A¹ = बी / सी = H¹ / S¹ = DD¹,
यो नै को डाटा विमान संकेत गर्दछ। यो + + D¹ = 0 वर्णन एक विमान द्वारा + Cz + डी = 0 र + A¹h V¹u S¹z कि समीकरण बन्चरो + हो।
विमान इंगित देखि दूरी
हामी एक विमान पी, (0) दिइएको छ जो छ मानौं। यो निर्देशांक संग बिन्दु बाट दूरी पत्ता लगाउन आवश्यक छ (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ। , तपाईं यसलाई बनाउन विमान द्वितीय सामान्य उपस्थिति मा समीकरण ल्याउन आवश्यक:
(Ρ, V) = पी (r≥0)।
यस मामला मा, ρ (एक्स, वाई, Z) हाम्रो बिन्दु क्यू, N पी मा स्थित को अर्धव्यास सदिश छ - N शून्य बिन्दुबाट जारी थियो जो लम्ब, को लम्बाइ छ, V - एकाइ सदिश, एक को दिशा मा प्रबन्ध छ जो छ।
फरक एक बिन्दु क्यू = (एक्स, वाई, Z) को ρ-ρº अर्धव्यास सदिश, N स्वामित्वको र क्यू 0 = (hₒ, uₒ, zₒ) छ यस्तो सदिश, को प्रक्षेपण निरपेक्ष मान जो मा दिइएको बिन्दु को अर्धव्यास सदिश v बराबर क्यू बाट पाउन आवश्यक छ जो दूरी घ, = 0 (hₒ, uₒ, zₒ) पी गर्न:
डी = | (ρ-ρ 0, V) | तर
(Ρ-ρ 0, V) = (ρ, V ) - (ρ 0, V) = पी (ρ 0, V)।
त्यसैले यो बाहिर जान्छ
घ = | (ρ 0, V) पृ। |
अब यो क्यू विमान पी 0 देखि दूरी घ गणना गर्न भनेर स्पष्ट छ, यो सामान्य दृश्य विमान समीकरण प्रयोग गर्न आवश्यक छ, पी को बायाँ पारी, र एक्स, वाई अन्तिम स्थान, Z विकल्प (hₒ, uₒ, zₒ)।
तसर्थ, हामी डी आवश्यक छ कि परिणामस्वरूप अभिव्यक्ति निरपेक्ष मान पाउन।
भाषा को मापदण्डहरु प्रयोग गरेर हामी स्पष्ट प्राप्त:
घ = | Ahₒ Vuₒ + + Czₒ | / √ (A² + V² + s²)।
निर्दिष्ट बिन्दु क्यू 0 मूल रूपमा विमान पी को अन्य पक्षमा, त्यसपछि सदिश बीच छ भने ρ-ρ 0 र V छ एक obtuse कोण, यसरी:
घ = - (ρ-ρ 0, V) = (ρ 0, V) -p> 0।
जब बिन्दु क्यू 0 यू को नै पक्षमा स्थित मूल संग संयोजन मा, तीव्र कोण बनाएको छ मामला मा, छ:
घ = (ρ-ρ 0, V) पी = - (ρ 0, V)> 0।
परिणाम यो हो कि पूर्व मामला (ρ 0, V)> पी, दोस्रो (ρ 0, V)
र यसको ट्यान्जेन्ट विमान समीकरण
सतहमा कि बिन्दु मार्फत आएको वक्र सबै सम्भव ट्यान्जेन्ट समावेश विमान - tangency Mº को बिन्दुमा सतह गर्न विमान विषयमा।
समीकरण फा (एक्स, वाई, Z) = 0 स्पर्शरेखा विमान ट्यान्जेन्ट बिन्दु Mº को समीकरण मा (hº, uº, zº) हुनेछ यस सतह फारम संग:
फा (x hº, uº, zº) (hº x) + फा (x hº, uº, zº) (uº वाई) + फा (x hº, uº, zº) (Z-zº) = 0।
सतह स्पष्ट Z = च (एक्स, वाई) सेट गरिएको छ भने, त्यसपछि ट्यान्जेन्ट विमान समीकरण द्वारा वर्णन गरिएको छ:
Z-zº = च (hº, uº) (hº x) + F (hº, uº) (y uº)।
दुई विमान चौराहे
मा तीन आयोमी ठाउँ एक समन्वय प्रणाली (आयताकार) Oxyz, दिइएको दुई विमानहरु पी 'र' पी 'ओभरल्याप र एकै समयमा पर्नु छैन भन्ने छ। एक आयताकार समन्वय सिस्टम सामान्य समीकरण द्वारा परिभाषित मा छ जो कुनै पनि विमान, देखि, हामी N + B एक्स '+ y' "= 0 र एक र N को समीकरण A'x + V'u S'z + + डी द्वारा परिभाषित गर्दै '" भनेर मान्छु "Z + डी" संग = 0। यस मामला मा हामी विमान पी 'र सामान्य N "(एक", बी ", सी") विमान पी को' सामान्य N '(एक', 'बी', सी ') छ। हाम्रो विमान समानान्तर रूपमा होइन र एकै समयमा पर्नु छैन, त्यसपछि यी vectors को collinear छैन। एन '≠ N "↔ (एक', 'बी', सी ') ≠ (λ * अनि", λ * मा ", λ * सी"), λεR: गणित को भाषा प्रयोग गरेर, हामी यस अवस्थामा लेखिएको सकिन्छ छ। गर्छन् चौराहे पी मा निहित जो सीधा लाइन 'र पी ", पत्र एक द्वारा denoted गरिनेछ यस मामला एक = पी मा' ∩ पी"।
र - रेखा अंक (साधारण) विमानहरु पी 'र पी "को एक अधिकता को निर्वाचकगण। यो लाइन एक स्वामित्वको कुनै पनि को निर्देशांक, साथ समीकरण A'x + V'u S'z + + डी '= 0 र एक "x + बी' + C वाई" Z + डी "= 0 पूरा गर्नुपर्छ भन्ने हो। यो बिन्दु को निर्देशांक निम्न समीकरण को एक विशेष समाधान गरिनेछ भन्ने हो:
परिणाम समीकरण को यो सिस्टम को समाधान (समग्र) इन्टरसेक्ट पी 'र पी "को बिन्दु रूपमा कार्य गर्नेछ जो लाइन मा अंक प्रत्येक को निर्देशांक निर्धारण गर्ने, र एक समन्वय सिस्टम Oxyz (आयताकार) अन्तरिक्ष मा एक लाइन निर्धारण छ।
Similar articles
Trending Now